Introducción Sistemas Lineales

Definición

a) Los elementos que lo forman y su interconexión, descritos mediante un módelo matemático.

b) Los estímulos, entradas o excitaciones aplicadas al sistema.

c) La historia del sistema (en función del tiempo), concentrada en un conjunto de condiciones iniciales.

d) La variable independiente tiempo.

Representación compacta de un sistema

     Las señales del proceso elegidas para observar el comportamiento del proceso se conocen como respuestas. Las respuestas pueden depender de la información y/o energía almacenada en el sistema, en el instante en que se inicia la observación.

Modelos

     Cuando hay que analizar un sistema, naturalmente no se trabaja con el proceso real, sino que se hace con la representación del sistema. Esta representación o módelo, captura los aspectos esenciales del sistema.

     Un módelo es una representación aproximada de la realidad y su grado de fidelidad depende del proposito del módelo, es decir, definir aquellos aspectos esenciales que queremos capturar.

Sistemas Lineales

     Los sistemas lineales son un subconjunto del universo de los sistemas. Muchos sistemas se pueden representar por módelos lineales, existen herramientas para análisis y sintesis de este tipo de sistemas.

Consideremos el sistema mostrado anteriormente:

y(t) = T{x(to),u(t)} ∀ t ≥ to

Donde:
T{*,*} es un operador
u(t) es la entrada
y(t) es la respuesta
x(to) es la condición inicial

Supongamos que el sistema cumple con:

y_1x(t) = T{x₁(to),0}      ∀ t ≥ to

y_1u(t) = T{0  ,u₁(t)}     ∀ t ≥ to

y_2x(t) = T{x₂(to),0}      ∀ t ≥ to

y_2u(t) = T{0  ,u2(t)}     ∀ t ≥ to

Donde     x₁(to) y x₂(to) condiciones iniciales arbitrarias.
                u₁(t) y u₂(t) son entradas arbitrarias.

Entonces el sistema es lineal, si y solo si:

y(t) = T{α₁x₁(to) + α₂x₂(to),β₁u₁(t) + β₂u₂(t)1}           ∀ t ≥ to

y(t) = α₁T{x₁(to),0} + α₂T{x₂(to),0}+β₁T{0,u₁(t)} + β₂T{0,u₂(t)}    


y(t) = α₁y_1x(t) + α₂y_2x(t) + β₁y_1u(t) + β₂y₂(t)

Donde  α_1, α₂, β_1, β₂ son constantes arbitrarias.

     En esta definición se combinaron la propiedades: superposición y homogeneidad, que definen los sistemas lineales.

Invariancia en el tiempo

     Un sistema es invariante en el tiempo, cuanso las propiedades del sistema no cambian en el tiempo, es decir, cuando se cumple la situación de las figuras siguientes, para cualquier valor del desplazamiento Ƭ.

Linealización

     Los sistemas reales suelen incluir características no lineales. Sin embargo, muchos de ellos se pueden describir con razonable precisión por módelos lineales, al menos dentro de ciertos rangos en el que sistema funciona.
     Desde el punto de vista práctico, para obtener estos modelos lineales es común comenzar con un modelo no lineal y, a partir de éste, construir una aproximación lineal alrededor de un punto de operación.

     Sistema no lineal en tiempo continuo.

     Un procedimiento general para obtener una aproximación lineal de un sistema no lineal, es usando la expansión en serie de Taylor, en torno al punto de operación (o punto de equilibrio). La serie se trunca trás su término lineal, despreciando los factores de orden mayor.

     Para una función de n variables independientes:

 y = F(x_1,x_2,......., x_n) se tiene que:

Donde el punto de operación es: (x_1q,x_2q,......., x_nq, y_q)

      Así la expresión general para obtener una aproximación lineal por una función no lineal es:

                                                      y = k₁x₁ + k₂x₂ + ........+ k_nx_n

Si deseas ver un ejemplo haz clic aqui : Ejemplo Linealización P.G.F. 

                                                   
  Algunas observaciones de P.G.F.

1.- Todas las cosntantes ki deben resultar finitas en el punto de operación. En caso contrario, el modelo no es linealizable en ese punto de operación.

2.- Cada una de las derivadas de una variable con respecto al tiempo se considera como una nueva variable independiente. por ejemplo: X * Y * X´ contiene 3 variables: X , Y , X´

3.- Q viene de "quiercent" que en español significa reposo.

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