Linealización

     Los sistemas reales suelen incluir características no lineales. Sin embargo, muchos de ellos se pueden describir con razonable precisión por módelos lineales, al menos dentro de ciertos rangos en el que sistema funciona.
     Desde el punto de vista práctico, para obtener estos modelos lineales es común comenzar con un modelo no lineal y, a partir de éste, construir una aproximación lineal alrededor de un punto de operación.

 

 

     Sistema no lineal en tiempo continuo.

     Un procedimiento general para obtener una aproximación lineal de un sistema no lineal, es usando la expansión en serie de Taylor, en torno al punto de operación (o punto de equilibrio). La serie se trunca trás su término lineal, despreciando los factores de orden mayor.

     Para una función de n variables independientes:

 y = F(x_1,x_2,......., x_n) se tiene que:

Donde el punto de operación es: (x_1q,x_2q,......., x_nq, y_q)

      Así la expresión general para obtener una aproximación lineal por una función no lineal es:

                                                      y = k₁x₁ + k₂x₂ + ........+ k_nx_n

 
Para linealizar una Ecuación Diferencial del Sistema, se debe tener como referencia un punto, a este punto se le denomina punto de equilibrio.

            Este punto de equilibrio, el cual será nuestra referencia, proviene de la entrada, por lo tanto en base a nuestro punto de equilibrio dado, podremos obtener nuestro punto de operación, el cual será la referencia que seguirá el sistema en la respuesta de este.

En resumen, para analizar una respuesta de un sistema, se debe tomar en cuenta la referencia de la entrada, es decir, el punto de operación dependerá de nuestro punto de equilibrio.

                                  e=entrada                                                            r=respuesta

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Determinación del punto de operación (punto de equilibrio )

Para esto se deben hacer cero, todas las derivadas de la ecuación

Como estamos determinando el punto de operación de acuerdo al punto de equilibrio (se agrega la letra q).

 

Reemplazo  en la ecuación, y queda:    

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Secuencia para linealizar mediante Series de Taylor:

 

Ordenar la ecuación

Separar los términos de la entrada, de los términos de la respuesta

Determinar el punto de operación;

a)  Para esto se deben hacer (cero), todas las derivadas dela ecuación

b)  Una vez simplificada la ecuación, evaluar la respuesta de acuerdo al punto de equilibrio entregado

Asignar simbología a las variables de la entrada y respuesta correspondientes a la EDS

 

Esta simbología debe diferir de las variables reales de la ecuación, se utiliza para simplificar la operación.

 Ejemplo

 

                                                         Respuesta                           Entrada

                                               

Siendo:

 

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Ahora corresponde ordenar la EDS, de acuerdo a la simbología asignada

                                                          Respuesta                           Entrada

 

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Serie de Taylor

 

     Es una herramienta matemática, para resolver ecuaciones en forma de series, su estructura se basa en la resolución de ecuaciones diferenciales mediante derivadas parciales.

Haz clic para visualizar la imagen

  

 O bien expresar la serie en una sola línea:

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Haz clic para visualizar la imagen

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 Recordemos que nuestra ecuación diferencial es:

 

  

Al evaluar la ecuación de acuerdo a la Serie de Taylor se obtiene:

 

 

  Una vez evaluado se deben identificar los delta:

                                                                          

 

 
 Al reemplazar los delta en la ecuación se obtiene:

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Evaluación del punto de equilibrio y el punto de operación

Se deben reemplazar dichos puntos en la ecuación según corresponda

                                                      Respuesta                       Entrada

Finalmente se obtiene un sistema linealizado:

 

Resultados de la Linealización

Ventajas:
     * Elimina las no linealidades en las ecuaciones
     * Elimina las constantes independientes
     * Las variables quedan referidas a un sistemas de ejes centrados en el punto de funcionamiento elegido.
     * Se simplifica el manejo de las condiciones iniciales.

Inconvenientes:
     * Habrá errores de cálculo de valores fuera del punto de funcionamiento.
   * Generalmente los errores son mayores cuanto más se aleja el estado del sistema del punto de funcionameinto elegido.
     * Hay tantas posibles aproximaciones lineales como puntos de funcionamiento.

Como conclusión se puede decir, habrá un modelo distinto para cada punto de funcionamiento y cada modelo sólo es válido para pequeñas variaciones alrededor del punto de funcionamiento.
    

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