Estabilidad "Ruth Hurwitz"

     Hasta aquí hemos visto que la respuesta de un sistema que tiene una función de transferencia H(s) es de la forma:

     El valor de cada β_ki depende de las condiciones iniciales, y además hemos supuesto que cada polo ubicado en s = λ_k  tiene multiplicidad n_k. Esto implica que:
      n₁ + n₂ + .... + n_p = n

     Para que el sistema sea estable los polos del sistema deben tener parte real estrictamente negativa, es decir, deben estar ubicados sobre el semiplano izquierdo (SPI) abierto del plano complejo s.

     Esto pone de manifiesto la importancia de conocer la ubicación de las raíces del polinomio A(s), para establecer si el sistema es estable o no.

     Los polinomios que tienen sus raíces en el semiplano izquierso cerrado se conocen como polinomios "Hurwitz". Si sus raíces tienen parte real estrictamente negativa, es decir, se ubican sobre el SPI abierto, los denominamos "estrictamente Hurwitz".

     Para determinar la naturaleza de un polinomio se usa el agoritmo de "Routh", tamabién como el criterio de "Routh-Hurwitz".

      Consideremos un polinomio p(s) de grado n, definido como:

     El algoritmo de Routh se basa en la construcción del arreglo númerico que se muestra a continuación:

     Donde:

     Una vez construido el arreglo de Routh podemis aplicar el siguiente resultado:
     El número de raíces de p(s) con parte real mayor que cero es igual al número de "cambios de signo" en la primera columna del arreglo.

Ejemplo: Para ilustrar el uso del algoritmo de Routh-Hurwitz, consideremos el siguiente sistema:

Su función de transferencia está dada por:

Po lo tanto, para la estabilidad debemos analizar las raíces del polinomio denominador:

El arreglo es:


Donde se observa que enla primera columna aparece en -1, por lo tanto, existen raíces con parte real positiva.

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