Transformada
Es uno de los métodos que se usa para el estudio de los sistemas dinámicos, lineales y de tiempo continuo.
Las principales ventajas son:
* Permite el análisis de sistemas estables e inestables.
* Se puede aplicar a una vasta gama de señales no acotadas.
* Permite considerar las condiciones inciales del sistema.
* La E.D.S. se puede transformar en una ecuación algebraica.
Definición
Considere una señal de tiempo continuo y(t), definida para:
La transformada de Laplace asociada a y(t), y su transformada inversa están definidas como:
Aplicación a Sistemas Lineales
Para un sistema lineal de una entrada y salida se tiene una ecuación diferencial del sistema, cuya forma general es:
Aplicando la transformada de Laplace a la E.D.S. tenemos que:
Si suponemos condiciones iniciales iguales a cero, tenemos que:
Que se forma con los polinomios que contienen los coefcientes de la ecuación original.
Definiremos algunos conceptos que se encuentran estrechamente ligados a la definición de la función de transferencia de un sistema. Por simplicidad, supondremos que los polinomios B(s) y A(s) no se cero simultáneamente para algún valor de la variable compleja s. Así, definimos los siguientes términos:
1.- Las m raíces de la ecuación B(s)=0 son los ceros del sistema.
Ellos hacen además que:
2.- Lan raíces de la ecuación A(s)=0 son los polos del sistema.
Ellos hacen que:
Función de transferencia
La función racional H(s) es la "función de transferencia" en el dominio de Laplace.Definiremos algunos conceptos que se encuentran estrechamente ligados a la definición de la función de transferencia de un sistema. Por simplicidad, supondremos que los polinomios B(s) y A(s) no se cero simultáneamente para algún valor de la variable compleja s. Así, definimos los siguientes términos:
1.- Las m raíces de la ecuación B(s)=0 son los ceros del sistema.
Ellos hacen además que:
Ellos hacen que:
3.-Si A(s)=0 tiene nk raíces en s=λk, decimos que el polo λk tiene multiplicidad nk
4.- La diferencia de grado entre A(s) y B(s), es decir, (n-m) se denomina el grado relativo del sistema.
5.- Si m < n decimos que el modelo es "estrictamente propio". Esto implica que el grado relativo del sistema es positivo.
6.- Si m = n decimos que el modelo es "bipropio". Esto implica que el grado relativo del sistema es cero.
7.- Si m ≤ n decimos que el modelo es propio.
8.- Si m > n decimos que el modelo es impropio, o que tiene grado relativo negativo.
La función de transferencia H(s) de un sistema de tiempo continuo, definido en:
Es igual a la transformada de Laplace de la respuesta h(t) del sistema a un impulso (delta de Dirac) en la entrada, cuando las condiciones iniciales son igual a cero.
Cuando el sistematiene un retardo Ʈ, la expresión general para la función de transferencia es:
La respuesta en frecuencia de un sistema lineal con función de transferencia H(s) se puede calcular reemplazando s por jω.
Es mas frecuente estudiar la dinámica natural de un sistema observando la respuesta escalón, es decir, cuando:
Luego:
Es útil definir un conjunto de parámetros que describen ciertas propiedades de la dinámica del sistema. Para identificar estos parámetros a definir consideremos una función de transferencia dada por:
La respuesta a escalón del sistema se muestra en la siguientes figura:
Entonces podemos definir los siguinetes índices:
y∞: Respuesta estacionaria. Valor final de la respuesta a escalón, siempre y cuando la función de trabsferencia tenga todos sus polos en el SPI abierto.
tr (rise time): Tiempo de levantamiento. Es el instante de tiempo en que la respuesta a escalón alcanza por primera ves yba fracción kr < 1 de y∞.
Mp (Overshoot): Sobre-respuesta. Es el valor máximo que alacanza la respuesta escalón, usualmente expresado como el porcentaje en que se sobrepasa y∞.
Mu (Undershoot): Máxima contra-respuesta. Es el valor máximo (en valor absoluto) que la respuesta a escalón alcanza bajo el cero.
Ts (Setting time): Tiempo de asentamiento. Es el tiempo luego del cual la respuesta a escalón queda confinada a una banda de desviación ± δ, alrededor de y∞. Esta desviación, δ, se define generalmente como un porcentaje de y∞, del 2% o 5%.
Respuesta a condiciones iniciales y señales arbitrarias
La transformada de Laplace permite obtener la respuesta del sistema cuando la entrada pertenece a una clase más general de señales. Sin embargo, la ventaja principal de esta transformada sobre la transformada de Fourier, es que permite incluir el efecto de las condiciones iniciales.
1.- Y(s): La función respuesta de un sistema (incluye las condiciones iniciales y a la función forzante)
2.-
; función de transferencia del sistema (ci = 0 y no se sustituye la función forzante.
Tablas de transformada
*Polos lentos o dominates están más cerca del eje imaginario.
*Los ceros afectan la proporción en que los polos afectan la salida.
*Ceros rápidos están más alejados del limite de estabilidad que los polos dominantes.
*Ceros lentos están más cerca del límite de estabilidad que los polos dominantes.
Son interesantes aquellos ubicados sobre la circunferencia unitaria o en su cercanía, y en aquellos polos al exterior del disco unitario. Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamnetal en la dinámica del sistema.
La función de transferencia que tiene todos sus ceros y polos al interior del disco unitario en el plano complejo Z, los denominaremos: Funciones de Transferencia Estable.
Si la función de transferencia tiene sus ceros en el interior del disco unitario las denominaremos: Funciones de Transferencia de fase mínima.
Si la función de transferencia tiene sus polos sobre el disco unitario abierto diremos que es estable y si tiene al menos uno de sus polos se ecuentra fuera del disco unitario o sibre su borde diremos que es inestable.
********************************************************************************
*******************************************************************************
******************************************************************************
Gentileza:
Respuesta a impulso y respuesta escalón.
Como ya hemos visto, la función de transferencia está asociada a la respuesta impulso del sistema. por otro lado, sabemos que si se aplica un impulso a la entrada, la respuesta contiene solamente los modos natural, que es independiente de la señal de entrada.Es mas frecuente estudiar la dinámica natural de un sistema observando la respuesta escalón, es decir, cuando:
Luego:
La respuesta a escalón del sistema se muestra en la siguientes figura:
Entonces podemos definir los siguinetes índices:
y∞: Respuesta estacionaria. Valor final de la respuesta a escalón, siempre y cuando la función de trabsferencia tenga todos sus polos en el SPI abierto.
tr (rise time): Tiempo de levantamiento. Es el instante de tiempo en que la respuesta a escalón alcanza por primera ves yba fracción kr < 1 de y∞.
Mp (Overshoot): Sobre-respuesta. Es el valor máximo que alacanza la respuesta escalón, usualmente expresado como el porcentaje en que se sobrepasa y∞.
Mu (Undershoot): Máxima contra-respuesta. Es el valor máximo (en valor absoluto) que la respuesta a escalón alcanza bajo el cero.
Ts (Setting time): Tiempo de asentamiento. Es el tiempo luego del cual la respuesta a escalón queda confinada a una banda de desviación ± δ, alrededor de y∞. Esta desviación, δ, se define generalmente como un porcentaje de y∞, del 2% o 5%.
Respuesta a condiciones iniciales y señales arbitrarias
La transformada de Laplace permite obtener la respuesta del sistema cuando la entrada pertenece a una clase más general de señales. Sin embargo, la ventaja principal de esta transformada sobre la transformada de Fourier, es que permite incluir el efecto de las condiciones iniciales.
La transformada de laplace en la Modelación, estudio y solución de las ecuaciones diferenciales
Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s) e Y(s)
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés:1.- Y(s): La función respuesta de un sistema (incluye las condiciones iniciales y a la función forzante)
2.-
; función de transferencia del sistema (ci = 0 y no se sustituye la función forzante.G(s) e Y(s)
Para la ecuación diferencial obtener: a) G(s) y b) Y(s)
Obtención del valor inicial y final de y(t)
Tablas de transformada
POLOS Y CEROS
*Polos rápidos están más alejados del eje imaginario. Tienen respuesta transitoria más rápida.*Polos lentos o dominates están más cerca del eje imaginario.
*Los ceros afectan la proporción en que los polos afectan la salida.
*Ceros rápidos están más alejados del limite de estabilidad que los polos dominantes.
*Ceros lentos están más cerca del límite de estabilidad que los polos dominantes.
Son interesantes aquellos ubicados sobre la circunferencia unitaria o en su cercanía, y en aquellos polos al exterior del disco unitario. Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamnetal en la dinámica del sistema.
La función de transferencia que tiene todos sus ceros y polos al interior del disco unitario en el plano complejo Z, los denominaremos: Funciones de Transferencia Estable.
Si la función de transferencia tiene sus ceros en el interior del disco unitario las denominaremos: Funciones de Transferencia de fase mínima.
Si la función de transferencia tiene sus polos sobre el disco unitario abierto diremos que es estable y si tiene al menos uno de sus polos se ecuentra fuera del disco unitario o sibre su borde diremos que es inestable.
Aplicación según Casos de Polos (fracciones parciales)
Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
Raíces del denominador D(s) o
polos de F(s):
********************************************************************************
*******************************************************************************
******************************************************************************
Gentileza:
